微积分中的乘积法则求导

微积分中的乘积法则用于对两个函数的乘积进行求导。其表达形式为：

如果 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 是两个关于 xxx 的可微函数，则它们乘积 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 的导数可以表示为：

(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

用语言来解释就是：

“两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。”

证明

乘积法则可以通过如下过程来证明：

定义函数 h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)。

利用导数的定义：

h′(x)=lim⁡Δx→0h(x+Δx)−h(x)Δx

h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x}

h′(x)=Δx→0lim​Δxh(x+Δx)−h(x)​

其中 h(x+Δx)=f(x+Δx)g(x+Δx)h(x+\Delta x) = f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)h(x+Δx)=f(x+Δx)g(x+Δx)。

我们对 h(x+Δx)−h(x)h(x + \Delta x) - h(x)h(x+Δx)−h(x) 进行变形：

h(x+Δx)−h(x)=f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x)

h(x + \Delta x) - h(x) = f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)

h(x+Δx)−h(x)=f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x)

接着，将这个差值拆分：

=[f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)]+[f(x)g(x+Δx)−f(x)g(x)]

= [f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x + \Delta x)] + [f(x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)]

=[f(x+Δx)g(x+Δx)−f(x)g(x+Δx)]+[f(x)g(x+Δx)−f(x)g(x)]

=[f(x+Δx)−f(x)]g(x+Δx)+f(x)[g(x+Δx)−g(x)]

= [f(x + \Delta x) - f(x)]g(x + \Delta x) + f(x)[g(x + \Delta x) - g(x)]

=[f(x+Δx)−f(x)]g(x+Δx)+f(x)[g(x+Δx)−g(x)]

将这个表达式代入导数定义：

h′(x)=lim⁡Δx→0([f(x+Δx)−f(x)]g(x+Δx)Δx+f(x)[g(x+Δx)−g(x)]Δx)

h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{[f(x + \Delta x) - f(x)]g(x + \Delta x)}{\Delta x} + \frac{f(x)[g(x + \Delta x) - g(x)]}{\Delta x} \right)

h′(x)=Δx→0lim​(Δx[f(x+Δx)−f(x)]g(x+Δx)​+Δxf(x)[g(x+Δx)−g(x)]​)

利用极限的性质，当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时，g(x+Δx)→g(x)g(x + \Delta x) \to g(x)g(x+Δx)→g(x)，所以第一个极限项可以写为：

lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxg(x)=f′(x)g(x)

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} g(x) = f'(x)g(x)

Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​g(x)=f′(x)g(x)

第二个极限项：

lim⁡Δx→0f(x)g(x+Δx)−g(x)Δx=f(x)g′(x)

\lim_{\Delta x \to 0} f(x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = f(x)g'(x)

Δx→0lim​f(x)Δxg(x+Δx)−g(x)​=f(x)g′(x)

最终得到：

h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

举个例子

假设我们要求 y=x2sin⁡(x)y = x^2 \sin(x)y=x2sin(x) 的导数，这里 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 和 g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)g(x)=sin(x)。

根据乘积法则，导数为：

y′=(x2)′sin⁡(x)+x2(sin⁡(x))′

y' = (x^2)' \sin(x) + x^2 (\sin(x))'

y′=(x2)′sin(x)+x2(sin(x))′

其中：

(x2)′=2x,(sin⁡(x))′=cos⁡(x)

(x^2)' = 2x, \quad (\sin(x))' = \cos(x)

(x2)′=2x,(sin(x))′=cos(x)

因此：

y′=2xsin⁡(x)+x2cos⁡(x)

y' = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)

y′=2xsin(x)+x2cos(x)

这是 x2sin⁡(x)x^2 \sin(x)x2sin(x) 的导数。

总结

乘积法则是求导中的一种基础技巧，特别是在两个函数相乘的情形下。掌握它可以让我们轻松处理复杂的函数求导问题。